En une phrase
La différentiation suit analytiquement la variation, tandis que l’intégration saisit synthétiquement un ensemble indéfini et conduit à un résultat fixe.
Exposé métaphysique
Synthèse de la position de Guénon dans Les Principes du Calcul infinitésimal, formulée par l'encyclopédie.
Guénon refuse de fonder le calcul infinitésimal sur des quantités infiniment petites conçues comme des êtres déterminés. Une différence infinitésimale est une quantité variable indéfiniment décroissante. Elle ne devient jamais un zéro effectif dans le cours de la variation, et ne saurait être la différence de deux quantités fixes.
La rigueur du calcul apparaît lorsque l’on distingue les variables de leurs limites. Les premières servent d’auxiliaires et permettent de suivre une loi de variation ; le résultat, lui, appartient à l’ordre des quantités fixes et déterminées. Le passage à la limite n’est donc pas l’arrivée de la variable à un dernier degré, qui n’existe pas, mais une discontinuité logique entre deux ordres de considération.
La différentiation est analytique : elle va du tout vers ses éléments de variation. Les différentiations successives n’introduisent pas plusieurs ordres d’infiniment petit, mais des degrés distincts de variation. Chaque différentielle demeure indéterminée tant que l’on se tient dans le mouvement du calcul.
L’intégration est synthétique. Une somme arithmétique procéderait en ajoutant des éléments distincts et successifs ; appliquée à une multitude indéfinie, elle ne s’achèverait jamais. L’intégration enveloppe au contraire tous les éléments simultanément, sans détruire l’indistinction propre aux parties du continu. Elle offre ainsi, dans l’ordre mathématique, un type du passage de l’analyse indéfinie à une saisie synthétique.
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Citations de Guénon
L’intégration doit être regardée comme une opération essentiellement synthétique, en ce qu’elle enveloppe simultanément tous les éléments de la somme qu’il s’agit de calculer. (Les Principes du Calcul infinitésimal, p. 88)
L’analyse n’atteint que les variables, prises dans le cours même de leur variation, et la synthèse seule atteint leurs limites. (Les Principes du Calcul infinitésimal, p. 89)
Lecture de l’encyclopédie
note de la rédaction L’enjeu dépasse une querelle de notation. Guénon montre comment une opération mathématique peut être exacte sans accorder de réalité à des quantités infinies ou à des zéros qui conserveraient encore une grandeur. Le calcul réussit parce qu’il change de point de vue au terme de l’opération.
L’analogie métaphysique doit toutefois rester une analogie. L’intégration mathématique ne réalise aucun état supérieur ; elle fournit un modèle formel du rapport entre une progression analytique inépuisable et une compréhension synthétique de l’ensemble.
Un exemple pour approcher le sens
Pour mesurer une surface courbe, on peut la partager mentalement en bandes de plus en plus étroites. Aucune bande ne sera la dernière, et leur amincissement ne produit pas une bande nulle qui resterait mesurable. Cette démarche suit la variation sans l’épuiser.
L’intégrale ne demande pas d’achever cette division terme après terme. Elle détermine la surface comme un tout, selon la loi qui contient simultanément l’ensemble des éléments variables.
Références internes
Les Principes du Calcul infinitésimal · La science profane · La science traditionnelle · La Limite et le passage à la limite · Le Continu et la divisibilité indéfinie · Le zéro n’est pas un nombre · La Croix