En une phrase
La limite n’est pas la dernière valeur d’une variable, mais une quantité fixe située hors de sa série, de sorte que son obtention exige un passage discontinu du variable au déterminé.
Exposé métaphysique
Synthèse de la position de Guénon dans Les Principes du Calcul infinitésimal, formulée par l'encyclopédie.
Guénon examine la limite parce que toute la rigueur du calcul infinitésimal en dépend. Une variable peut s’approcher d’une valeur fixe autant qu’on le veut, au point que leur différence devienne moindre que toute quantité assignable. Cela ne signifie pourtant pas que la variable, en tant que variable, atteigne cette valeur.
La difficulté vient de la confusion entre deux ordres. La série des valeurs variables appartient au devenir quantitatif; la limite est fixe et déterminée. Si elle constituait le dernier terme de la série, il faudrait qu’une variation continue s’achève par une ultime valeur variable, comme s’il pouvait exister un dernier nombre dans une progression indéfinie. La variable perdrait alors précisément le caractère par lequel elle appartient à la série.
Le passage à la limite implique donc une discontinuité. Ce terme ne désigne pas une lacune arbitraire dans le raisonnement, mais le changement de point de vue par lequel on cesse de considérer la variation et l’on affirme la valeur fixe qui la limite. L’analyse suit indéfiniment les valeurs successives; la détermination de la limite est synthétique.
Guénon donne à cette correction une portée qui dépasse la technique du calcul. L’indéfini ne devient jamais l’Infini par accumulation, et le devenir ne produit pas le principe en prolongeant son mouvement. Toute réalisation qui conduit d’un ordre conditionné à un ordre supérieur suppose pareillement un changement de niveau, non l’ajout d’une dernière étape homogène aux précédentes.
Ce changement peut être exprimé comme passage de la puissance à l’acte. Tant que la variable poursuit sa variation, la limite demeure ce vers quoi elle tend sans l’atteindre; lorsque le résultat est posé comme fixe, il ne reste plus une approximation meilleure, mais une détermination d’un autre ordre. La discontinuité est ainsi la condition de l’exactitude, non un défaut que masquerait la notation.
La même distinction sépare le continu de sa mesure. Une grandeur continue est divisible indéfiniment, mais elle n’est pas composée d’une infinité actuelle de parties déjà données. Le calcul opère légitimement sur des rapports et des sommes limites à condition de ne pas transformer les symboles de l’indéfini en entités contradictoires. La critique de Guénon porte sur cette justification doctrinale, non sur l’efficacité pratique des opérations.
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Citations de Guénon
La limite est conçue essentiellement comme une quantité fixe et déterminée. (Les Principes du Calcul infinitésimal, p. 51)
La limite n’appartient donc pas à la série des valeurs successives de la variable ; elle est en dehors de cette série. (Les Principes du Calcul infinitésimal, p. 96)
Lecture de l’encyclopédie
note de la rédaction Le vocabulaire mathématique fournit ici un modèle particulièrement précis du refus guénonien de l’évolutionnisme métaphysique. Un ordre supérieur n’est pas le résultat tardif de l’ordre inférieur. Il peut en être la limite, la raison et l’achèvement, sans appartenir à la même série que lui.
Cette lecture ne transforme pas une démonstration mathématique en allégorie spirituelle. Elle reconnaît plutôt une même exigence intellectuelle dans les deux domaines: ne pas confondre une approximation indéfinie avec une possession actuelle, ni un processus analytique avec l’acte synthétique qui en fixe le résultat.
Un exemple pour approcher le sens
Une suite de points se rapproche d’une porte en parcourant chaque fois la moitié de la distance restante. Chaque nouveau point est plus proche que le précédent, mais aucun n’est le seuil. Le seuil ne devient pas un point de la suite parce que l’écart est très petit; il demeure la limite fixe par rapport à laquelle tous les points sont ordonnés.
Passer la porte n’est donc pas parcourir une « dernière moitié » introuvable. C’est cesser d’être dans le mouvement d’approche et se trouver dans un nouvel état, celui de l’arrivée.
Références internes
Les Principes du Calcul infinitésimal · Le zéro n’est pas un nombre · La Porte étroite · Mohyiddin ibn Arabi · La réalisation métaphysique · Le Continu et la divisibilité indéfinie · Différentiation et Intégration · l’Infini et l’Indéfini · L’intuition intellectuelle